Propósito: Revisar la aleatoriedad parcelas autocorrelación (. Box y Jenkins, pp 28-32) son una herramienta comúnmente utilizada para el control de la aleatoriedad en un conjunto de datos. Esta aleatoriedad se determina mediante el cálculo de las autocorrelaciones para los valores de datos en el tiempo que varía queda. Si al azar, tales autocorrelaciones deben estar cerca de cero para cualquier y todas las separaciones temporizados. Si no aleatoria, a continuación, una o más de las autocorrelaciones será significativamente diferente de cero. Además, las parcelas de autocorrelación se utilizan en la etapa de identificación del modelo de Box-Jenkins autorregresivo, moviendo los modelos de series de tiempo promedio. Autocorrelación es sólo una medida de aleatoriedad Tenga en cuenta que no correlacionado no significa necesariamente aleatoria. Los datos que tienen autocorrelación significativa no es aleatoria. Sin embargo, los datos que no muestran autocorrelación significativa todavía pueden exhibir no aleatoriedad de otras maneras. Autocorrelación es sólo una medida de la aleatoriedad. En el contexto de la validación del modelo (que es el principal tipo de aleatoriedad que dicuss en el Manual), la comprobación de autocorrelación es típicamente una prueba suficiente de aleatoriedad desde los residuos de un pobre ajuste de modelos tienden a mostrar aleatoriedad no sutil. Sin embargo, algunas aplicaciones requieren una determinación más rigurosa de aleatoriedad. En estos casos, una batería de pruebas, lo que podría incluir la comprobación de la autocorrelación, se aplican ya que los datos pueden ser no aleatoria de muchas maneras diferentes y, a menudo sutiles. Un ejemplo de dónde se necesita una verificación más rigurosa para la aleatoriedad estaría en la prueba de los generadores de números aleatorios. Muestra Terreno: Autocorrelaciones debe estar cerca de cero para la aleatoriedad. Tal no es el caso en este ejemplo y por lo tanto la hipótesis de aleatoriedad no pasa esta parcela de muestreo de autocorrelación muestra que las series de tiempo no es aleatoria, sino que tiene un alto grado de autocorrelación entre las observaciones adyacentes y casi adyacentes. Definición: r (h) frente a h parcelas de autocorrelación están formados por Eje vertical: coeficiente de autocorrelación, donde C h es la función de autocovarianza y C 0 es la función de varianza Nota que R h está entre -1 y 1. Nótese que algunas fuentes pueden utilizar el siguiente fórmula para la función de autocovarianza Aunque esta definición tiene menos sesgo, el (1 / N) formulación tiene algunas propiedades estadísticas deseables y es la forma más comúnmente utilizada en la literatura estadísticas. Consulte las páginas 20 y 49-50 en Chatfield para más detalles. eje horizontal: Tiempo de retardo h (h 1, 2, 3.) La línea anterior también contiene varias líneas de referencia horizontales. La línea media está en cero. Las otras cuatro líneas son 95 y 99 bandas de confianza. Tenga en cuenta que hay dos fórmulas distintas para generar las bandas de confianza. Si la trama de autocorrelación está siendo utilizado para la prueba de aleatoriedad (es decir, no hay dependencia del tiempo en los datos), se recomienda la siguiente fórmula: donde N es el tamaño de la muestra, z es la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar y (alfa ) es el nivel de significación. En este caso, las bandas de confianza se fija anchura que depende del tamaño de la muestra. Esta es la fórmula que se utilizó para generar las bandas de confianza en la trama anterior. parcelas de autocorrelación también se utilizan en la etapa de identificación del modelo para el montaje de modelos ARIMA. En este caso, un modelo de promedio móvil se asume para los datos y las siguientes bandas de confianza debe ser generada: donde k es el retraso, N es el tamaño de la muestra, z es la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar y (alfa) se el nivel de significación. En este caso, las bandas de confianza aumentan al incrementar la demora. La trama de autocorrelación puede proporcionar respuestas a las siguientes preguntas: ¿Son los datos aleatorios es una observación relacionada con una observación adyacente es una observación relacionada con una observación dos veces eliminado (etc.) ¿El ruido blanco serie de tiempo observada es la serie de tiempo observada sinusoidal es el autorregresivo serie temporal observada Qué es un modelo apropiado para la serie de tiempo observada es el modelo válido y suficiente en el ss fórmula / Importancia sqrt válido: asegurar la validez de las conclusiones de ingeniería aleatoriedad (junto con el modelo fijo, la variación fijo y fijo de distribución) es uno de los cuatro supuestos que normalmente subyacen en todos los procesos de medición. El supuesto de aleatoriedad es críticamente importante por las siguientes tres razones: La mayoría de las pruebas estadísticas estándar dependen de la aleatoriedad. La validez de las conclusiones de la prueba está directamente vinculada a la validez de la hipótesis de aleatoriedad. Muchas fórmulas estadísticas de uso común dependen de la suposición de la aleatoriedad, la fórmula más común es la fórmula para la determinación de la desviación estándar de la media de la muestra: donde s es la desviación estándar de los datos. Aunque se utilizan en gran medida, los resultados del uso de esta fórmula son de ningún valor a menos que el supuesto de aleatoriedad sostiene. Para los datos univariados, el modelo por defecto es Si los datos no son al azar, este modelo es incorrecto y no válido, y las estimaciones de los parámetros (como la constante) se convierta sin sentido y no válidos. En resumen, si el analista no comprueba la aleatoriedad, la validez de muchas de las conclusiones estadísticas se convierte en sospechoso. La trama de autocorrelación es una excelente manera de comprobar tales randomness. Autocorrelation en movimiento de la media Este ejemplo muestra cómo introducir autocorrelación en un proceso de ruido blanco por filtración. Cuando introducimos autocorrelación en una señal aleatoria, manipulamos su contenido de frecuencia. Un filtro de media móvil atenúa las componentes de alta frecuencia de la señal, suavizando eficazmente. Crear la respuesta al impulso de un 3 puntos filtro de media móvil. Filtra una N (0,1) secuencia de ruido blanco con el filtro. Ajuste el generador de números aleatorios para la configuración predeterminada de resultados reproducibles. Obtener la autocorrelación muestra sesgada a 20 grupos de acción local. Trazar la autocorrelación de la muestra junto con la autocorrelación teórica. La autocorrelación muestra captura la forma general de la autocorrelación teórica, a pesar de que las dos secuencias no están de acuerdo en detalle. En este caso, es evidente que el filtro ha introducido autocorrelación significativa sólo sobre retrasos -2,2. El valor absoluto de la secuencia se descompone rápidamente a cero fuera de ese rango. Para ver el contenido de frecuencia que se ha visto afectada, la trama Welch estimaciones de las densidades espectrales de potencia de las señales originales y filtradas. El ruido blanco ha sido coloreada por el filtro de media móvil. MATLAB y Simulink son marcas comerciales registradas de The MathWorks, Inc. Consulte www. mathworks / marcas registradas para obtener una lista de otras marcas propiedad de The MathWorks, Inc. Otros nombres de productos o marcas son marcas comerciales o marcas comerciales registradas de sus respectivos propietarios. Seleccione su primera etapa CountryThe en el desarrollo de un modelo Box-Jenkins es determinar si la serie es estacionaria y si hay alguna estacionalidad importante que necesita ser modelada. Estacionariedad puede evaluarse a partir de una trama secuencia de ejecución. La trama secuencia de ejecución debe mostrar la ubicación y la escala constante. También se puede detectar a partir de un gráfico de autocorrelación. En concreto, no estacionariedad se indica a menudo por una parcela de autocorrelación con descomposición muy lenta. Diferenciación para lograr la estacionariedad Box y Jenkins recomienda el enfoque de diferenciación para lograr la estacionariedad. Sin embargo, el ajuste de una curva y restando los valores ajustados de los datos originales también se puede utilizar en el contexto de modelos Box-Jenkins. En la etapa de identificación del modelo, nuestro objetivo es detectar la estacionalidad, si es que existe, y para identificar el orden autorregresivo para la temporada y términos de promedio móvil de temporada. Para muchas series, el período es conocido y un solo término estacionalidad es suficiente. Por ejemplo, para los datos mensuales incluiríamos suele ser una temporada término AR 12 o una temporada MA 12 plazo. Para los modelos Box-Jenkins, no eliminamos de manera explícita la estacionalidad antes de ajustar el modelo. En su lugar, incluimos el orden de los términos estacionales en la especificación del modelo con el software de estimación ARIMA. Sin embargo, puede ser útil aplicar una diferencia temporal a los datos y regenerar la autocorrelación y parcelas autocorrelación parcial. Esto puede ayudar en el modelo idenfitication del componente no estacional del modelo. En algunos casos, la diferenciación estacional puede eliminar la mayor parte o la totalidad del efecto estacionalidad. Identificar p y q Una vez estacionariedad y la estacionalidad se han abordado, el siguiente paso es identificar el orden (es decir, el (p) y (q)) de la autorregresivo y términos de medias móviles. Autocorrelación y autocorrelación parcial Parcelas Las herramientas principales para hacer esto son la trama de autocorrelación y la trama de autocorrelación parcial. La trama muestra de autocorrelación y la trama de autocorrelación parcial de la muestra se comparan con el comportamiento teórico de estas parcelas cuando el orden se conoce. Orden de proceso autorregresivo ((p)) En concreto, para un (1) proceso AR, la función de autocorrelación de la muestra debe tener una apariencia de forma exponencial decreciente. Sin embargo, los procesos de AR de orden superior son a menudo una mezcla de disminución exponencial y componentes sinusoidales amortiguadas. Para los procesos autorregresivos de orden superior, la autocorrelación muestra necesita ser complementado con una parcela de autocorrelación parcial. La autocorrelación parcial de un proceso AR ((p)) se hace cero en el retardo (p 1) y mayor, por lo que examinar la función de autocorrelación parcial muestra para ver si hay evidencia de una salida de cero. Esto generalmente se determina mediante la colocación de un intervalo de confianza del 95 en el terreno de autocorrelación parcial de la muestra (la mayoría de los programas de software que generan parcelas de autocorrelación de la muestra también trazar este intervalo de confianza). Si el programa de software no genera la banda de confianza, es aproximadamente (pm 2 / sqrt), con (N) que indica el tamaño de la muestra. Orden de Plataforma en movimiento media ((q)) La función de autocorrelación de un proceso MA ((q)) se hace cero en el retardo (q 1) y mayor, por lo que examinar la función de autocorrelación de la muestra para ver donde se convierte esencialmente cero. Hacemos esto mediante la colocación del intervalo de confianza del 95 para la función de autocorrelación de la muestra en la parcela de muestreo de autocorrelación. La mayoría del software que puede generar la trama de autocorrelación también puede generar este intervalo de confianza. La función de autocorrelación parcial de la muestra por lo general no es útil para identificar el orden del proceso de media móvil. Forma de autocorrelación funciones En la siguiente tabla se resume la forma en que usamos la función de autocorrelación de la muestra para el modelo identification.2.1 Moving Modelos Promedio (modelos MA) modelos de series temporales conocidos como modelos ARIMA puede incluir términos autorregresivos y / o términos de medias móviles. En la Semana 1, aprendimos un término autorregresivo en un modelo de series de tiempo para la variable x t es un valor rezagado de x t. Por ejemplo, un retraso de 1 x término autorregresivo es t-1 (multiplicado por un coeficiente). Esta lección define términos de medias móviles. Un término promedio móvil en un modelo de series de tiempo es un error pasado (multiplicado por un coeficiente). Sea (en peso desbordado N (0, sigma2w)), lo que significa que el w t son de forma idéntica, distribuido de forma independiente, cada uno con una distribución normal con media 0 y la misma varianza. El 1º orden moviendo modelo de media, denotado por MA (1) es (xt theta1w mu peso) El orden 2º movimiento modelo de media, denotado por MA (2) es (mu xt peso theta1w theta2w) El q º orden moviendo modelo de media , denotado por MA (q) es (mu xt wt theta1w theta2w puntos thetaqw) Nota. Muchos libros de texto y programas de software definen el modelo con signos negativos antes de los términos. Esto no cambia las propiedades teóricas generales del modelo, aunque no voltear los signos algebraicos de valores de los coeficientes estimados y los términos (unsquared) en las fórmulas para FCA y varianzas. Es necesario comprobar su software para verificar si los signos negativos o positivos se han utilizado con el fin de escribir correctamente el modelo estimado. R utiliza señales positivas en su modelo subyacente, como lo hacemos aquí. Propiedades teóricas de una serie de tiempo con un MA (1) Nota Modelo que el único valor distinto de cero en el ACF teórico es de retardo 1. Todos los demás autocorrelaciones son 0. Así, un ACF muestra con una autocorrelación significativa sólo en el retardo 1 es un indicador de un posible MA (1) modelo. Para los estudiantes interesados, pruebas de estas propiedades son un apéndice de este folleto. Ejemplo 1 Supongamos que un MA (1) modelo es x t 10 w w t 0,7 t-1. donde (en peso desbordado N (0,1)). Por lo tanto el coeficiente 1 0.7. El ACF teórico está dado por una trama de esta sigue ACF. La trama se acaba de mostrar es la ACF teórico para un MA (1) con 1 0.7. En la práctica, una muestra de costumbre suelen proporcionar un patrón tan claro. El uso de R, simulamos n 100 valores de las muestras utilizando el modelo x 10 w t t t 0,7 W-1 donde w t iid N (0,1). Para esta simulación, un gráfico de series temporales de datos de la muestra de la siguiente manera. No podemos decir mucho de esta trama. El ACF de la muestra para la simulación de datos sigue. Vemos un aumento en el retardo 1 seguido por valores generalmente no significativos para retardos pasado 1. Tenga en cuenta que la muestra ACF no coincide con el patrón teórico de la MA subyacente (1), que es que todas las autocorrelaciones para los retrasos del pasado 1 estarán 0 . una muestra tendría un ACF muestra ligeramente diferente se muestra a continuación, pero probablemente tendría las mismas características generales. Theroretical Propiedades de una serie temporal con un modelo MA (2) Para el (2) Modelo MA, propiedades teóricas son las siguientes: Tenga en cuenta que los únicos valores no nulos en la ACF teórica son los GAL 1 y 2. Autocorrelaciones para retardos más altos son 0 . por lo tanto, una muestra con ACF autocorrelaciones significativas en los retardos 1 y 2, pero autocorrelaciones no significativos para retardos más alto indica una posible MA (2) del modelo. iid N (0,1). Los coeficientes son 1 0,5 y 2 0.3. Debido a que este es un MA (2), el ACF teórica tendrá valores distintos de cero solamente en los retardos 1 y 2. Los valores de los dos autocorrelaciones son distintos de cero Una trama de la ACF teórico sigue. Como casi siempre es el caso, datos de la muestra suele comportarse tan perfectamente como teoría. Hemos simulado n 150 valores de la muestra para el modelo x 10 w t t t-0,5 W 0,3 W 1 T-2. donde w t iid N (0,1). El gráfico de series temporales de datos de la siguiente manera. Al igual que con el gráfico de series temporales de los (1) datos de las muestras MA, usted no puede decir mucho de ella. El ACF de la muestra para la simulación de datos sigue. El patrón es típico para situaciones en las que una (2) modelo de MA puede ser útil. Hay dos picos estadísticamente significativas en los retardos 1 y 2, seguido por los valores no significativos para otros retardos. Tenga en cuenta que debido a un error de muestreo, el ACF muestra no coincide con el patrón teórico exactamente. ACF para el general MA (q) Modelos Una característica de los modelos MA (q), en general, es que hay autocorrelaciones distintos de cero para los primeros retardos q autocorrelaciones y 0 para todos los GAL gt q. No unicidad de la conexión entre los valores de 1 y (Rho1) en MA (1) Modelo. En el MA (1) modelo, para cualquier valor de 1. el recíproco 1/1 da el mismo valor para A modo de ejemplo, utilizar 0,5 por 1. y luego usar 1 / (0,5) 2 por 1. Usted conseguirá (Rho1) 0,4 en ambos casos. Para satisfacer una restricción teórica llamada invertibilidad. que restringir MA (1) modelos de tener valores con valor absoluto menor que 1. En el ejemplo dado, 1 0,5 habrá un valor de parámetro permisible, mientras que 1 1 / 0.5 2 no lo hará. Invertibilidad de modelos Un modelo MA MA se dice que es invertible si es algebraicamente equivalente a un modelo AR orden infinito convergentes. Al converger, nos referimos a que los coeficientes AR disminuyen a 0 a medida que avanzamos en el tiempo. Invertibilidad es una restricción de software programado en series de tiempo utilizado para estimar los coeficientes de los modelos con los términos MA. No es algo que comprobamos en el análisis de datos. Información adicional acerca de la restricción invertibilidad de MA (1) modelos se da en el apéndice. Teoría avanzada Nota. Para un modelo MA (q) con un ACF especificado, sólo hay un modelo invertible. La condición necesaria para invertibilidad es que los coeficientes tienen valores tales que la ecuación 1- 1 y-. - Q y q 0 tiene soluciones para y que están fuera del círculo unitario. R Código de los ejemplos en el Ejemplo 1, que representa el ACF teórica del modelo x 10 w t t. 7w t-1. y luego simulado n 150 valores de este modelo y se representó la serie temporal de la muestra y la ACF muestra para los datos simulados. Los comandos R utilizan para trazar el ACF teórico fueron: acfma1ARMAacf (mac (0,7), lag. max10) 10 rezagos de ACF para MA (1) con 0,7 theta1 lags0: 10 crea una variable llamada desfases que va de 0 a 10. parcela (retardos, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, Type H, principal ACF para MA (1) con theta1 0,7) abline (H0) agrega un eje horizontal de la gráfica el primer comando determina la ACF y lo almacena en un objeto acfma1 llamado (nuestra elección del nombre). El comando plot (los comandos 3º) parcelas se retrasa en comparación con los valores de ACF para desfases del 1 al 10. Cuando las etiquetas El parámetro ylab el eje Y y el parámetro principal pone un título en la parcela. Para ver los valores numéricos de la ACF sólo tiene que utilizar el comando acfma1. La simulación y las parcelas se realizaron con los siguientes comandos. xcarima. sim (n150, lista (mac (0,7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 añade 10 para hacer medias por defecto 10. Simulación en el sentido de 0. plot (x, TypeB, mainSimulated MA (1) datos) ACF (x, xlimc (1,10), mainACF para datos de muestras simuladas) En el Ejemplo 2, se representa gráficamente la ACF teórica del modelo XT 10 en peso de 0,5 w t-1 0,3 w T-2. y luego simulado n 150 valores de este modelo y se representó la serie temporal de la muestra y la ACF muestra para los datos simulados. Los comandos R utilizados fueron acfma2ARMAacf (mac (0.5,0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 parcela (GAL, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, Type H, principal ACF para MA (2) con theta1 0,5, theta20.3) abline (H0) xcarima. sim (n150, lista (mac (0,5, 0,3))) xxc10 plot (x, TypeB, principal simulada MA (2) Serie) ACF (x, xlimc (1,10), mainACF para MA simulada (2) datos) Apéndice: Prueba de propiedades de MA (1) para los estudiantes interesados, aquí están las pruebas de las propiedades teóricas de la (1) modelo MA. Diferencia: (texto (xt) w texto (mu theta1 en peso) 0 texto (en peso) de texto (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Cuando h 1, la expresión anterior 1 w 2. Para cualquier h 2, la expresión anterior 0 . la razón es que, por definición de independencia del peso. E (k w w j) 0 para cualquier k j. Además, como la w t tiene media 0, E (w w j j) E (w j 2) w 2. Por una serie de tiempo, aplicar este resultado para obtener el ACF dado anteriormente. Un modelo MA invertible es uno que puede ser escrito como un modelo AR orden infinito que converge de manera que los coeficientes AR convergen a 0 a medida que avanzamos infinitamente en el tiempo. Bien demostrar invertibilidad para el (1) modelo de MA. Tenemos entonces sustituto de la relación (2) A la hora de w t-1 en la ecuación (1) (3) (ZT en peso theta1 (z - theta1w) en peso theta1z - theta2w) t-2. la ecuación (2) se convierte en A continuación, sustituir relación (4) para W t-2 en la ecuación (3) (ZT en peso theta1 z - theta21w peso theta1z - theta21 (z - theta1w) en peso theta1z - theta12z theta31w) Si tuviéramos que continuar ( infinitamente), obtendríamos el modelo AR orden infinito (ZT en peso theta1 z - theta21z theta31z - theta41z puntos) Obsérvese, sin embargo, que si 1 1, los coeficientes multiplicadores de los retardos z aumentará (infinitamente) de tamaño a medida que avanzamos en la espalda hora. Para evitar esto, necesitamos 1 LT1. Esta es la condición para un MA (1) modelo invertible. Modelo de la orden infinito MA En la semana 3, así que ver un AR (1) modelo puede ser convertido en un modelo de orden infinito MA: (xt - mu peso phi1w phi21w puntos phik1 w puntos resumen phij1w) Esta suma de términos de ruido blanco es conocido últimos como la representación causal de un AR (1). En otras palabras, x t es un tipo especial de MA con un número infinito de términos que se remontan en el tiempo. Esto se llama una orden infinito MA o MA (). Una orden MA finito es un AR orden infinito y cualquier orden de AR finito es un MA orden infinito. Recordemos en la semana 1, se observó que la exigencia de un AR estacionario (1) es que 1 LT1. Permite calcular el Var (x t) utilizando la representación causal. Este último paso se utiliza un hecho básico acerca serie geométrica que requiere (phi1lt1) diverge de lo contrario las series. NavigationScience y editorial Educación Es bastante obvio que los FCA en (1.4) y el de (1.8) todo cortado después de lag dos. Esto es indicativo del hecho de que un proceso de media móvil de orden dos y un proceso de serie pura diagonal bilineal tiempo de orden dos tienen estructuras de autocorrelación similares. Como resultado, existe la posibilidad de clasificación errónea de un proceso bilineal diagonal pura de orden dos como un proceso de media móvil de orden dos. La facilidad con que están equipados los modelos lineales y la práctica de la aproximación de modelos no lineales por modelos lineales también pueden causar mala especificación del proceso bilineal diagonal pura no lineal de orden dos. De lo anterior, es imperativo para investigar la implicación estadística del modelo de errores de clasificación antes mencionada. En este sentido, nos centraremos en la función de penalización asociada a la clasificación errónea de un (2) Proceso de AP como (2) proceso de MA. 2. Relación entre los parámetros del proceso puro Diagonal Bilineal de orden dos y media en movimiento de orden dos Habiendo observado que el proceso de media móvil de orden dos y el proceso bilineal diagonal pura de orden dos tienen estructuras similares de autocorrelación, vale la pena para derivar la relación entre los parámetros de los dos modelos. Estas relaciones nos ayudarán a obtener la función de penalización por clasificar erróneamente el modelo no lineal como el modelo lineal de la competencia. El método de los momentos que implica que equivale el primer y segundo momentos de el modelo bilineal diagonal pura a los momentos correspondientes de la no cero en movimiento promedio de orden dos se utiliza para este propósito. medios equiparar, tenemos Igualando las varianzas, se obtiene Teniendo en cuenta la tabla completa que contiene 2129 conjuntos de valores, podemos ver que la función de penalización para la clasificación errónea de un (2) Proceso de AP como un MA (2) proceso (P) toma valores positivos para todos los valores de, /. /. El valor positivo de la pena por la clasificación errónea de un (2) Proceso de AP como (2) proceso de MA muestra que esta clasificación errónea lleva a un aumento en la varianza de los errores. Este hallazgo está de acuerdo con los resultados obtenidos por 6 con respecto a la clasificación errónea de un (1) Proceso de PDB como un (1) Proceso de MA. Para fines de predicción, tenemos que encontrar la relación entre P y /. En primer lugar, se traza P contra cada uno de /. La Figura 1 muestra la gráfica de P en contra. Tabla 1. Las sanciones por diferentes valores de los parámetros de MA (2) Proceso y AP (2) Proceso El valor de p de 0,00 en la Tabla 3 implica que el modelo de regresión ajustada es adecuado para describir la relación entre P y /. 4. Conclusión En este estudio, se determinó el efecto de clasificación errónea de un proceso bilineal diagonal pura de orden dos como un proceso de media móvil de orden dos. Una función de penalización se definió y se utilizó para calcular las sanciones por errores de clasificación del proceso bilineal diagonal pura de orden dos como el proceso de media móvil de orden dos en base a varios conjuntos de valores de los parámetros de los dos procesos. Las sanciones computados asume valores positivos. Esto indicó incremento en la varianza de error debido a errores de clasificación de pura proceso bilineal diagonal de orden dos como un proceso de media móvil de orden dos. Un modelo de regresión cuadrática se encontró adecuado para predecir las sanciones a partir de los parámetros del proceso de bilineal diagonal pura de orden dos. Referencias Bessels, S. (2006). Un paso más allá de la ecuación resoluble. www. staff. science. uu. nc//AfstudeerscriptieSanderBessels. pdf (Este sitio fue visitado en junio de 2013). Box, G. E. P. Jenkins, M. y G. Reinsel, G. C. (1994). Análisis de series de tiempo: predicción y control. 3ª ed. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J.
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